背景&分析

Floyd算法

算法

Dijkstra算法(求解从点start到任意点的最小花费,同时可以得到路径)的步骤为:
初始化:

  • 初始化图(graph[][]数组)中的每一条边均为INF(“无穷大”值,代表不可到达)。
  • 初始化每个点到自己的权值为0。
  • 读入给定权值。
  • 维护这样两个集合:viewed和not_viewed,点在两个集合中分别代表这个点已经被走过了和还没有被走过。一开始,所有点均在not_viewed中。
  • 维护一个数组dist[],表示每个点距离start的最短距离。初始化dist的方式为遍历i,dist[i]=graph[start][i]
  • 维护一个数组pre[],记录从start走到每个点的路径中,这个点的上一个点。即每个点的“前驱”。初始化方式为对在给定图中所有与start直接相连的点i(graph[start][i]!=INF),pre[i]=start。(可以与dist[]的初始化合并。)

核心算法:

将点start从not_viewed中取出加入到viewed中。
遍历集合not_viewed中的每个点,设当前点为j。(这个遍历的目的是寻找距离start最近的点k,最近距离设为min。)
    如果dist[j]<min,
        更新min为dist[start][i];同时更新k为j。
将点k从not_viewed中取出加入到viewed中。下面站在k处更新每个点距离start的最短路径。
遍历集合not_viewed中的每个点,(不妨仍)设当前点为j。
    如果dist[k]+graph[k][j]<dist[j](start→k→j的花费比start→j小),
        更新dist[j]为dist[k]+graph[k][j];同时更新j的前驱(pre[j])为k。
重复除了“将点start加入到viewed中”的上述操作,直至没有点在not_viewed中。

最后,dist[]存储了从点start到任意点的最小花费。对于start→...→i这条路径,从点i递归查找前驱直到start(此过程也可用while循环实现)即可得到花费最小的路径信息。
时间复杂度O(n^2)。

代码实现

注意点:
在实现代码中,可以做一些转化:

  • 将viewed和not_viewed集合转化为bool型数组viewed[],用1,0分别表示某个点在哪个集合中。
  • 将点start加入到viewed中后,最开始not_viewed中有n-1个点。每次操作时从中挑选1个距离start最近的点,因此“重复操作”其实是重复了n-1次,可以用for循环直接实现。这个循环的i(1~n-1)值并没有在循环中用到。

其它:

  • 该算法全过程没有改变graph中的信息,过程有点像广搜,每次循环“走一步”。
  • 该算法得到了单源最短路径。与Floyd相比,时间复杂度下降,并得到了路径信息,但是没有得到任意两点的最小花费。
//
//  main.cpp
//  t1
//
//  Created by Colin on 2019/11/30.
//  Copyright © 2019 Colin. All rights reserved.
//
#include <iostream>
#include <fstream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <string>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
using namespace std;

const int MAXN = 30;
const int inf = 1000000000;

void shortestPath_dijkstra(const int &n, int graph[MAXN][MAXN], int dist[MAXN], const int &start)
{
    bool viewed[MAXN] = { 0 };
    viewed[start] = 1;
    for (int i = 1; i <= n - 1; i++)
    {
        //find the closest point from start point
        int min_dist = 0x7fffffff;
        int k = 0;
        for (int j = 1; j <= n; j++)
        {
            if (viewed[j] == 0 && dist[j] < min_dist)
            {
                min_dist = dist[j];
                k = j;
            }
        }

        viewed[k] = 1;
        //update the information of the not-viewed points(j) linked with k
        for (int j = 1; j <= n; j++)
        {
            if (viewed[j] == 0 && dist[k] + graph[k][j]< dist[j])
            {
                dist[j] = graph[k][j] + dist[k];
                //path[j] = k;
            }
        }
    }//end for of i
}

int main()
{
    int graph[MAXN][MAXN] = { 0 };
    memset(graph, 0x3e, sizeof(graph));
    int dist[MAXN] = { 0 };
    memset(dist, 0x3e, sizeof(dist));
    for (int i = 1; i <= MAXN - 1; i++)
        graph[i][i] = 0;
    string in;
    while (cin >> in)
    {
        int a = in[0] - 'a' + 1;
        int b = in[in.length() - 1] - 'a' + 1;
        graph[a][b] = 0;
        if (a == 'c' - 'a' + 1)
            dist[b] = 0;
    }
    shortestPath_dijkstra('z' - 'a' + 1, graph, dist, 'c' - 'a' + 1);
    if (dist['d' - 'a' + 1] == 0)
        cout << "YES" << endl;
    else
        cout << "NO" << endl;

    return 0;
}
Last modification:December 1st, 2019 at 02:43 pm
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